$f(x)=1-x^{2}$

$g(x)=1-4 x^{2}$

$h(x) = 0$ (el eje $x$)

Fijate que hay una clase específicamente donde resolvimos un ejercicio de parcial de este estilo -> "Calcular el área encerrada cuando hay tres funciones", si todavía no la viste te recontra recomiendo que la mires, porque todo eso lo vamos a usar en este ejercicio. 

Como te comenté en esa clase, cuando hay tres funciones involucradas, la clave está en graficar las tres funciones, para tener una idea clara de qué puntos de intersección necesitamos y quién es techo y piso en cada región. $f$ y $g$ son funciones totalmente graficables, las vimos al principio de la Práctica 1, son cuádraticas, así que no deberías tener problemas en hacer esos gráficos. En tu hoja deberías haber llegado a algo así:

Fijate que, además de graficar las funciones, ya fui identificando el área encerrada y marcando cada región donde cambia el techo y el piso. Entonces, nos armamos ahora nuestra integral del área que va a ser la suma de cuatro integrales, no? 

Ahora, un detalle. Fijate que, por la simetría que tienen las parábolas, el área de lo que tenemos a la derecha (naranja + amarillo) tiene que ser igual a la otra área que tenemos a la izquierda, lo ves? Eso nos va a simplificar un poco las cuentas, porque podríamos entonces calcular una sola de las partes (por ejemplo, la naranja + amarilla de la derecha) y el área total va a ser dos veces esa área que calculamos. Si no te dabas cuenta de esto, no había problema, ibas a hacer más cuentas y calcular dos integrales más, pero al final deberías haber llegado al mismo resultado. 

Entonces, vamos a calcular el área naranja + amarilla de la derecha. La integral de esa área sería esta:

$A = \int_{0}^{1/2} f(x) - g(x) \, dx + \int_{1/2}^{1} f(x) - 0 \, dx$

Resolvemos cada una de estas integrales:

$\int_{0}^{1/2} f(x) - g(x) \, dx = \int_{0}^{1/2} (1 - x^2) - (1 - 4x^2) \, dx = \int_{0}^{1/2} 3x^2 \, dx = x^3 \Big|_{0}^{1/2} = \frac{1}{8}$

$ \int_{1/2}^{1} f(x) \, dx = \int_{1/2}^{1} (1 - x^2) \, dx = x - \frac{x^3}{3} \Big|_{1/2}^{1} = \frac{5}{24}$

Juntando ambos resultados:

$A = \int_{0}^{1/2} f(x) - g(x) \, dx + \int_{1/2}^{1} f(x) - 0 \, dx = \frac{1}{8} + \frac{5}{24} = \frac{1}{3}$

Pero acordate que esta no es todavía el área total. Este el pedacito que teníamos a la derecha. Por simetría podemos decir que el área que nos quedó del lado izquierdo tiene que ser igual, por lo tanto, el área total es:

$A = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$